切下げ限界歯数

　歯車の歯数が少なくなると、歯切りの際にラック工具などの工具刃先により、歯形のインボリュート曲線の歯元側が切り取られる現象が発生します。
　これを切下げ(natural undercut)と呼びますが、ここでは切下げが生じる条件について、その式導出手順も含め簡単にまとめています。

　切下げは、歯元の歯厚が薄くなることによる歯の強度低下や、かみ合い率の低下の要因の一つになります。
　したがって、歯車に要求される耐久性仕様に応じて、どこまでの切下げを許容するかも設計上の留意点となります。

　なお、理論上の切下げ限界歯数は18(←17.1の切り上げ)ですが、実用上は14まで許容できるとされています。
　本記事では、限界歯数が理論値より小さくできる理由も解説しています。

〔参考〕

　右のグラフは、インボリュートとトロコイドの交点位置の半径と基礎円半径の差(ri – rb)を縦軸にして、その値(すみ肉開始位置変化量)が歯数の増減に伴い、どのように変化するかを示したものです(交点位置の算出は別掲の 歯形曲線上の点の座標 の記事を参考)。

　図中、理論切下げ限界歯数(赤破線)より右側は、インボリュートとトロコイドが接線連続している領域で、交点(接点)位置は歯数の減少に伴い基礎円に近づいていきます。
　一方左側は、トロコイドによりインボリュートが切り取られて、交点位置が再び増加に転じている領域(切下げが発生している領域)です。