逆インボリュート関数の近似式

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インボリュート関数(invα)は右上図の角度αを用いて次式で求められます。

invα = tan(α) – α

逆インボリュート関数は invα の値から α を求めるものですが、これにはいわゆる解析解がありません。

一般的には関数表の利用やニュートン・ラフソン法や二分法による近似計算方法が知られていますが、反復計算を伴わない多項式による近似式も公開されています。

多項式によるものは方式により誤差が異なりますが、実用的にはどれも十分利用可能です。
(本サイトの計算資料では基本的に近似式①を使っていますが、α>40°の範囲では近似式④の方が高精度です(右下図参照))

なお逆インボリュート関数の値は、転位歯車のかみ合い圧力角を求めるために必要となります。(最終的には転位歯車対の中心距離計算に使われます)
また他には正面かみ合い率、歯形係数の計算にも用います。

ユーザー定義関数(UDF)として使用できるExcelのマクロファイルも添付します。

 

 


 

上記紹介の近似式のマクロのソースファイル(.bas)です。
引数により計算方法を切り替えます。
 1:近似式① (Chengの式)
 2:近似式④ (Liuの式)
 3:ニュートン・ラフソン法 (最高精度)
Excelのマクロファイル(.xlsm)にインポートして使用して下さい。

 

2021.8.13 更新 (revA→revB)