スプライン曲線

曲線をn次多項式で近似する手法のいくつかについて解説しています。
これらはCAD上で曲線や曲面を表現する上での基本的な手法となります。

 

<スプライン曲線の種類>
例えば右図のような6つの点からなる経路(パス)を考えます。
この経路に沿って滑らかに描かれる曲線には下図のようなものがあります。
①は全ての点を通過点として通るスプライン曲線(3次)、②③は全ての点を制御点として作られる各々ベジエ曲線(5次)、Bスプライン曲線(3次)となります。
ちなみに、③の3次Bスプライン曲線の次数を5次に上げる、即ち次数を[制御点数-1]とすると②の5次ベジエ曲線になります。つまりベジエ曲線はBスプライン曲線に次数制限をかけた特別な曲線です
なお①の3次スプライン曲線には、各区間(P1~P2、P2~P3、…)毎に通過点での連続性を考慮した3次関数曲線が適用されています。

 


※これらのExcelのグラフ作成にあたり機械運動学、制御工学、ロボット工学等に関する基礎的かつ重要な理論式を明解に解説したTajima Roboticsの掲載記事を参考にしました。

 


<ベジエ(Bezier)曲線描画アニメーション>

制御点(緑の点)が4つの場合この曲線は3次関数の多項式で表現されます。

 

Excelで作成してあります。